高数上复习

第一章 函数与极限

1、函数有界性：\(\forall x \in X,X \subset D\)，有\(|f(x)| \leq M\)，则称\(f(x)\)在\(X\)上有界，满足条件的\(M\)称为该函数的界

2、反函数：如果\(f(x)\)单调，则反函数必定存在，且与\(f(x)\)具有相同的单调性

(相关资料图)

3、初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合运算构成，并可以用一个式子表示的函数

4、数列极限：\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exist 正整数N\)，使\(n > N\)时，都有\(|x_n - a| < \varepsilon\)成立，那么\(a\)就是数列\(\{x_n\}\)的极限，又称\(\{x_n\}\)收敛于\(a\)，否则称\(\{x_n\}\)是发散的

5、函数极限：设\(f(x)\)在点\(x_0\)的某去心邻域内有定义，若\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exist 正数\delta\)，使得\(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，总有\(|f(x) - A | < \varepsilon\)成立，称\(A\)为函数\(f(x)\)当\(x \rightarrow x_0\)时的极限

6、无穷小量：在自变量的某一变化过程中极限为零的变量称为无穷小量，记为\(\alpha(x)\)

7、函数极限的夹逼准则：设函数\(f(x),g(x),h(x)\)满足

（1）\(\exist \delta > 0\)，当\(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，有\(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)（如果是数列极限这里就是\(n > N\))

（2）\(\underset {x \rightarrow x_0} {lim} g(x)=\underset {x \rightarrow x_0} {lim} h(x)=A\)

则\(\underset {x \rightarrow x_0} {lim} f(x)=A\)

8、单调有界准则：单调有界数列必有极限

9、无穷小：

（1）高阶无穷小：\(lim \frac{\alpha}{\beta} = 0\)，记为\(\alpha=o(\beta)\)

（2）同阶无穷小：\(lim \frac{\alpha}{\beta} = C\)

（3）等价无穷小：\(lim \frac{\alpha}{\beta} = 1\)，记为\(\alpha \sim \beta\)

10、函数连续：\(\underset {x \rightarrow x_0} {lim} f(x)=f(x_0)\)，则\(f(x)\)在\(x_0\)处连续

11、间断点：\(f(x)\)不连续的点

（1）第一类间断点：\(f(x)\)在\(x_0\)处左右极限都存在，如果左右极限相等称为可去间断点，否则称为跳跃间断点

（2）第二类间断点：\(f(x)\)在\(x_0\)处左右极限至少有一个不存在

12、闭区间连续函数的性质

（1）最值定理：\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定有最大值和最小值

（2）介值定理：\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定取得到\(f(a)\)和\(f(b)\)之间的任意实数

第二章 导数与微分

1、导数的定义：\(f^{"}(x_0)=\underset{x \rightarrow x_0}{lim} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)，也可以写作\(f^{"}(x_0)=\underset{\Delta x \rightarrow 0}{lim} \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)

2、可导的充要条件是左导数等于右导数，可导一定连续，连续不一定可导

3、隐函数：由二元方程\(F(x,y)=0\)所确定的函数，两边同时求导即可

4、参数方程：\(x\)和\(y\)分别对\(t\)求导即可

5、微分：给\(x\)一个改变量\(\Delta x\)，相应的函数改变量\(\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)\)，其中\(A\)与\(\Delta x\)无关，则\(A\Delta x\)称为函数\(f(x)\)在点\(x\)处的微分，也称为函数改变量的线性主部

可微的充分必要条件是可导，且\(dy = f^{"}(x)dx\)

第三章 微分定理

1、极值点：在邻域内的最值点（局部最值）

2、费马(Fermat)引理：设函数\(f(x)\)在\(x_0\)处可导，且\(x_0\)是\(f(x)\)的极值点，则\(f^{"}(x_0)=0\)

3、罗尔(Rolle)中值定理：如果函数\(f(x)\)满足

（1）在\([a,b]\)上连续（闭区间连续）

（2）在\((a,b)\)上可导（开区间可导）

（3）\(f(a)=f(b)\)

则至少存在一点\(\xi \in(a,b)\)，使得\(f^{"}(\xi)=0\)

4、拉格朗日(Lagrange)中值定理：若函数\(f(x)\)满足

（1）在\([a,b]\)上连续

（2）在\((a,b)\)上可导

则至少存在一点\(\xi \in(a,b)\)，使得\(f(b) - f(a) = f^{"}(\xi)(b - a)\)

5、柯西（Cauchy）中值定理：若函数\(f(x),g(x)\)满足

（1）在\([a,b]\)上连续

（2）在\((a,b)\)内可导且\(g(x) \neq 0\)

则至少存在一点\(\xi \in (a, b)\)使得\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{"}(\xi)}{g^{"}(\xi)}\)

6、洛必达(L"Hospital)法则：用于0/0未定式或\(\infin / \infin\)型未定式

7、泰勒(Taylor)公式：\(f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)\)，如果令\(x_0=0\)，就成为麦克劳林(Maclaurin)公式

皮亚诺余项：\(o((x-x_0)^n)\)

拉格朗日余项：\(\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\),\(\xi\)介于\(x\)和\(x_0\)之间

8、驻点就是\(f^{"}(x)=0\)的点，如何进一步判定是否极值点：

第一充分判别法：由定义判断，判断\(f(x_0)\)是否是其邻域内的最大或最小值

第二充分判别法：\(f^{""}(x_0)>0\)，极小值，\(f^{""}(x_0)<0\)，极大值

9、垂直渐近线：\(f(x)\)在\(x_0\)处间断，且\(\underset{x \rightarrow x_0^+}{lim}f(x)=\infin\)，则直线\(x=x_0\)是垂直渐近线

10、水平渐进线：\(f(x)\)的定义域是无穷区间，且\(\underset{x \rightarrow +\infin}{lim}f(x)=A\)，那么\(y=A\)是水平渐近线

11、斜渐近线：\(y=kx+b\)满足\(\underset{x \rightarrow \infin}{lim}[f(x)-kx-b]=0\)

12、凹函数：\(f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\)，二阶导数大于0，凸函数反之

第四章 不定积分

1、连续函数必有原函数，一个函数任意两个原函数之间相差一个常数

2、第一类换元法：想办法将\(dx\)变为\(df(x)\)再积分

3、第二类换元法：令\(t=f(x)\)，解出\(x=f^{-1}(t)\)后代入\(dx\)，变为对\(t\)积分

4、分部积分：\(\int uv"dx = uv - \int u"vdx\)

5、三角代换：\(\int R(sinx,cosx)dx = \int R(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}) * \frac{2}{1+t^2}dt\)

第五章 定积分

1、定积分可以看作是曲边梯形的面积

2、\(\int_{a}^{b} f(x)dx=\underset{\lambda \rightarrow0^+}{lim} \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i) \Delta x_i\)，其中\(\lambda\)表示所有区间的长度最大值

3、如果\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续（或者有界且只有有限个间断点），那么\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积

4、估值定理：\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，且\(m \leq f(x) \leq M\)，则\(m(b-a) \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq M(b-a)\)

5、定积分中值定理：设\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，则在\([a,b]\)上至少存在一点\(\xi\)，使得\(\int_{a}^{b} f(x)dx = f(\xi)(b-a)\)

6、积分上限函数（变上限积分）：\(F(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt\)，有\(F"(x)=f(x)\)

7、牛顿-莱布尼茨公式：设\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\)，记为\(F(x)|_a^b\)

8、反常积分：

（1）无界区间上的：极限值\(\int_a^{+\infin}f(x)dx =\underset{b \rightarrow +\infin}{lim} \int_a^bf(x)dx\)存在，则该值为\(f(x)\)在无穷区间\([a,+\infin)\)上的反常积分，此时\(\int_a^{+\infin}f(x)dx\)收敛，否则它是发散的

（2）无界函数的：设\(f(x)\)在\((a,b]\)上连续，而在\(a\)的某右邻域内无界，取\(\varepsilon > 0\)，如果\(\underset{\varepsilon \rightarrow 0^+}{lim} \int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx\)存在，则它为\(f(x)\)在\([a,b]\)上的反常积分，仍记为\(\int_{a}^b f(x)dx\)

第六章略